за исключением частоты = In , при которой его значение мо жет быть найдено как предел

= --Incth

= -Incth

Ит[Л(, + е)--Л(е-е)] =

£=0

(5-50)

Определяя для всех частот ш, т. е. полагая (йд = (й, получим фазо-частотную характеристику B = f{ui):

В = -\п

(5-51)

Если принять за начало отсчета характеристики частоту среза Ш; то вид этой характеристики (рис. 5-9) не отличается от вида функции (5-49), показанной на рис. 5-8. Бесконечно большое

значение фазы при -=1 по-

лучается вследствие бесконечно большой крутизны среза характеристики затухания при этой частоте,

В качестве другого примера рассмотрим случай, когда крутизна dAjd постоянна во всем диапазоне частот и равна п. В этом случае формула (5-49) принимает вид:

рад 3

Рис. 5-9. Скачкообразно изменяющаяся частотная характеристика [А - Ло) и соответствующая ей фазовая характеристика В, имеющая вид функции веса.

Вд=\ Incth dv. (5-52)

Этот интеграл известен и равен к[2, поэтому для Ва имеем

г, я Я

(5-53)

В использованных нами формулах под в = Ла-]-/Ва понимается натуральный логарифм коэффициента передачи, поэтому фаза Ва выражена в радианах, а - в неперах. Частота v, в соответствии (5-44), также выражена в неперах.

Согласно (5-53), фаза Ва равна ti:/2 радиан, если крутизна п равна единице, что соответствует изменению затухания на 1 ненер при изменении частоты также на 1 непер. Очевидно, что п=1 и в том случае, когда частота и затухание изменяются на 1 октаву. Поскольку затухание А представляет собой отношение модулей токов или напряжений (а не мощностей), одна октава (изменение в 2 раза) для А равна шести децибелам. Иными словами, единичная крутизна (п=1) соответствует крутизне dAid в шесть . ,

децибел на октаву. Таким обра- у кт=1од

зом, если dAld-t - K выражать в децибелах на октаву, то формула (5-53) принимает вид

Рис. 5-10. Линейная частотная харак-

Ba[pcid]= 2 П=-уу kld6ioKm], теристика (Л - А) и соответствую-

-щая ей равномерная фазовая (В).

(t)-t)4)

ЧТО показано на рис. 5-10, где взято k {56/o/cm] = 6и [дб/окт]. Поскольку для любой частоты фаза Ва в данном случае

равна п, зависимость фазы от частоты имеет вид горизонтальной прямой (рис. 5-10).

§ 5-4. Графоаналитический метод определения фазо-частотной характеристики по заданной амплитудно-частотной

Из вида формул (5-40), (5-45) и (5-48) следует, что сумме амплитудно-частотных характеристик Л = Л1Ла 4-Лз-f-... соответствует сумма фазо-частотных характеристик Ba = Bai-\-4--Sa + + - Это позволяет представить сложную амплитудно-частотную характеристику в виде суммы простых характеристик, для которых фазо-частотные характеристики известны или легко вычисляются. Суммируя последние, получим требуемую фазо-частотную характеристику, соответствующую исходной амплитудно-частотной. В частности, можно аппроксимировать амплитудно-частотную характеристику отрезками прямых линий (в логарифмическом масштабе).

С этой точки зрения значительный интерес представляет полубесконечная характеристика затухания Л (сплошная прямая на

рис. 5-11), которое постоянно для частот от О до Шс (соответст-

венно для ч = loga от - оо до О) и имеет постоянную крутизну п

(6п [дб/окт]) в области частот выше частоты среза са,. (т. е. для от О до со). В соответствии с видом функции веса фазовый сдвиг В (сплошная кривая на рис. 5-11) для частот, значительно

меньших (Ое, т. е. при (-v)l, близок к нулю, а при v>>i приближается к фазовому сдвигу для бесконечной наклонной прямой, изображенной на рис. 5-10, т. е. к величине пк!2. Подобно этому фаза В для полупрямой А, являюп1,ейся продолжением А, будет иметь вид, показанный на рис. 5-11 пунктирной линией. Очевидно, что кривая В является зеркальным отобране-

нием В относительно ординаты в точке v = 0, т. е.

B(v)=--B(-v). (5-55)

В то же время, поскольку сумма А у-А соответствует случаю, изображенному на рис. 5-10, имеем:

О -Ьп

/А-А,

Рис. 5-11. По.чубесконечная частотная характеристика А-А (сн.тошная полупрямая) и соответствующая ей фазовая характеристика В (сплошная кривая). Пунктир А - - продолжение полубесконечной частотной характеристики, В - соответствующая фазовая характеристика.

B(v) + B(v) = n-. (5-56)

Учитывая (5-55), соотношение (5-56) можно записать в виде:

B(v) -j = -[B(-v)n-

(5-57)

Это означает, что функция В (v) - п

обладает нечетной

симметрией относительно начала координат или, иными словами, функция В (v) симметрична относительно точки с координатами v = 0 и

Б(0) = п. (5-58)

Уравнение (5-57) позволяет найти по известному значению В(--v) величину B(v), поэтому достаточно найти значения В при v<0, т. е. в диапазоне частот са от О до 3. Найдем фазовую характеристику, соответствующую полубесконечной характеристике затухания с единичной крутизной, равной 6 дб.окт.

Согласно формуле (5-48), имеем:

Incth

(5-59)

где V определяется формулой (5-44), а частота среза соответст-

венно равна

Вводя новую переменную

(5-60) (5-61)