заряженный конденсатор не препятствует прохождению тока в присоединенной к нему цепи; природа его препятствия току заключается в противодействии накопленных зарядов. После момента = 0 пластины конденсатора накапливают заряд и разность потенциалов между ними с (О повышается, а ur (i) = = f/o-(t) уменьшается, а следовательно, уменьшается и сила тока [так как и j{t) =i{t)R]. Процесс установится тогда, когда конденсатор зарядится до напряжения u({t) = Uo и ток прекратится, т. е.

Ur {t)

= 0.

Следовательно, в начале переходного процесса конденсатор почти не препятствует прохождению тока, величина тока определяется только величиной сопротивления R и напряжения f/o. а зате.м ток уменьшается в результате возрастающего противодействия зарядов, накопляемых конденсатором.

Понятие о постоянной времени

Для практических целей необходимо иметь возможность оценивать скорость протекания переходного процесса. Для этого пользуются величиной, которая называется постоянной времени.

Во все полученные выше формулы входит показательная (экспоненциальная) функция вида е где а - показатель затухания. Если провести касательную к графику этой функции (рис. 109) в точке = 0, то эта касательная образует с осью времени угол у, тангенс которого равен

d , /.

tg V =

t = о

и отсекает на оси времени отрезок to, равный

t -L = -1. ° (tg7)

Значение показательной функции в момент tg равно

- -t

- t - -i 1

е = е = е = -.

(26)

(27)

Время to, в течение которого показательная функция е~ 1

становится равной-, называется постоянной времени.

Так как величина to = -, то она, так же как и а, характеризует

скорость протекания переходного процесса, что иллюстрировано рис. ПО.

Как легко видеть из предыдущих формул, для последовательно соединенных R к L

to =

для последовательно соединенных R и С

(28)

(29)

где все величины должны быть взяты в одной системе единиц, например, t - в секундах, R - b омах, L - в генри, С - в фарадах.

to, to, to,

Рис. 109. График показательчой функции- экспонента

Рис. ПО. Иллюстрация понятия постоянной времени. Чем медленнее протекает переходный процесс, тем больше постоянная времени

Физический смысл формул (28) и (29) можно объяснить следующим образом. В цепи RL скорость нарастания тока в начале тем меньше, чем больше L (так как -см. преды-

dt L

дущий параграф), т. е. чем больше э. д. с. само1шдукцни, препятствующая нарастанию тока. Поэтому чем больше L, тем медленнее процесс, тем больше постоянная времени. Сопротивление R является причиной отклонения кривой тока от пунктирной прямой (см. рис. 106, б); чем больше R, тем больше напряжение и (t) = i{t)R при одном и том же токе, обусловленном самоиндукцией, тем, следовательно, раньше кривая тока начнет отклоняться от пунктирной прямой, тем быстрее закончится переходной процесс, тем меньше постоянная времени.

Механической аналогией цепи RL может служить реактивный

dv ,

снаряд, начальное ускорение которого- тем меньше, чем больше его масса пх. Если оп движется в пустоте, то под действием постоянной силы F скорость его будет неограниченно и притом 19*

линейно возрастать (так как F = т - при движении его в какой-либо среде силы трения будут возрастать с увеличением скорости и снаряд перейдет к равномерному движению, когда силы трения уравновесят движущую силу. При этом переход к равномерному движению произойдет тем раньще, чем больше коэффициент трения в среде.

В цепи RC в начале процесса сила тока зависит только от сопротивления R, поэтому чем больше R, тем меньше сила тока, тем медленнее конденсатор накапливает заряды, тем больше постоянная времени. Однако по мере накопления зарядов конденсатором сила тока уменьшается и это происходит тем медленнее, чем позже успеет коденсатор накопить заряд, достаточный для противодействия току. Следовательно, чем больше емкость С, т. е. чем больше нужно зарядов для изменения потенциала на 1 в, тем медленнее спадает ток, тем больше постоянная времени.

Механической аналогией цепи RC может служить баллон, надуваемый через трубку. В начале процесса скорость газа в трубке зависит только от площади ее поперечного сечения, баллон не оказывает препятствия газу, скорость газа такая же, как и при отсутствии баллона на конце трубки (сравните с незаряженным конденсатором, замененным коротким замыканием). В дальнейшем начнет возрастать давление газа в баллоне, которое будет противодействовать движению газа. Это противодействие станет заметным тем раньше, чем меньше объем (емкость) баллона.

Параллельно соединенные элементы

Пользуясь полученными соотношениями, нетрудно рассмотреть переходные процессы при параллельном соединении RL или RC, если воспользоваться известной из электротехники теоремой об эквивалентном генераторе (теорема Тевенина). Согласно этой теореме, цепи, изображенные на рис. 111 (где Ri - внутреннее сопротивление генератора) можно заменить цепями рис. 112. Последние состоят из генератора с нулевым внутренним сопро-

тивлением, дающего э. д. с. u(t) = u(t) -, включаемую в

момент = 0, конденсатора С (или самоиндукции L) и включенного последовательно с ними сопротивления Rq, эквивалентного параллельно соединенным Ri и R. Следовательно, постоянная времени для цепей рис. 111 равна

toc=R,C; t=4-, (30)

Ro =

Ri + R

(31)

Из рис. 112 или из формул (30) и (31) очевидно, что если 7?К<, то t.R.C; t,:

если У?, > 7?, то tfRC; t

L. R

(32) (33)

т. е. скорость переходного процесса определяется меньшим сопротивлением.

®

u[t)

i-ЧЛАЛЛ-

>\ллллллл/ о

Рис. ill. Параллельное соедине- Рис. 112. Цепи, эквивалентные прение RC и RL дыдущим

Выключение постоянного напряжения

В случае действия на цепь напряжения, закон изменения которого отличается от рассмотренного, нужно снова составлять и решать дифференциальные уравнения. Однако для некоторых видов функций можно найти решения из уже полученных ранее формул, если применить метод наложения.

Напряжение u(t), изменяющееся по кривой рис. 113, а можно рассматривать как сумму постоянной э. д. с. Ui{t) (рис. 113, б) и включения, взятого с отрицательным знаком 2(0 (Рис. 113,в). Поэтому на основании принципа наложения все токи и напряжения на участках цепи являются суммой токов и напряжений, вызванных действием напряжений Ui{t) и u<2,{t) в отдельности. Так, например, для цепи рис. 107 сила тока для >0 равна [см. формулу (24)

i = О -

(34)

так как сила тока от постоянного напряжения в этой цепи равна нулю. Напряжение на сопротивлении (для t > 0) равно [см. формулу (25)]:

= -U,e

(35)

так как падение напряжения на сопротивлении R при действии постоянной э. д. с. так же, как и сила тока, равна нулю. Напря-

жение на конденсаторе f/ (для >0) равно [см. формулу (23)]:

(36)

Соответствующие графики приведены на рис. 114, а, б, в.

Рис. 113. Разложение функции выключения на составляющие

Рис. 114. Напряжеяия и сила тока при выключении э. д. с. в цепи RC

Действие прямоугольного импульса напряжения на линейную цепь

Напряжение, изменяющееся по кривой рис. 115, а, называемое прямоугольным импульсом, можно рассматривать как сумму дву.х включений с разными знакам1И U\{t) и U2{t), сдвинутых во времени на t, где т - длительность импульса (рис. 115, б и в). Поэтому искомые токи или напряжения равны сумме токов или напряжений, вызванных каждым из этих включений в отдельности. Так, например, для той же цепи RC рис. 107 сила тока i изображается кривой рис. 116, а; напряжение на конденсаторе ис - кривой рис. 116, б, напряжение на сопротивлении - кривой рис. 116, в, построенных на основании кривых рис. 108.

Если постоянная времени цепи мала по сравнению с длительностью импульса т, то прямоугольный импульс удобнее рассматривать просто как включение напряжения в момент = О и выключение его в момент t =х.

Укорачивающие (дифференцирующие) и удлиняющие (интегрирующие) цепи

Одним из многочисленных практических применений переходных процессов является укорочение и удлинение импульсов, получаемое в так называемых укорачивающих (или дифференцирующих) и удлиняющих (или интегрирующих) цепях. Примером такой цепи является рассмотренная цепь RC (рис. 177). При условии to = RC X напряжение - д на сопротивлении (рис. 117, а), как следует из предыдущего, будет иметь вид двух коротких импульсов, возникающих в момент включения и выключения (рис. 117,6 и в).

Ucit)

Рис. 115. Разложение прямоугольного импульса на составляющие

Рис. 116. Напряжения и сила тока в цепи RC при действии на нее прямоугольного импульса напряжвнил

Поэтому, устранив один из двух импульсов (например, при помощи диода), можно получить на входе какой-либо схемы один импульс нужного знака, длительность которого намного меньше длительности исходного импульса u{t). В этом случае цепь RC называют укорачивающей или дифференцирующей и включают по схеме рис. 117, а.